量子算法

量子算法是一种专为量子计算机设计的计算程序，它利用了量子力学中的独特性质来执行任务。这些性质包括量子叠加、量子纠缠和量子干涉等，使得量子算法在某些情况下能够比传统经典算法更高效地解决问题。

量子计算机具有天然的并行处理能力，由于量子叠加原理，一个量子系统可以同时处理大量信息，且对于某些特定类型的问题，比如大整数分解或无序数据库搜索，量子算法能提供指数级的速度提升。量子计算的并行性是有别于经典计算并行性的。经典的并行计算主要是靠多重硬件同时计算来实现，而量子并行计算是在同一个量子线路中完成的1。

量子算法的发展前景非常广阔，如在新材料与药物发现方面30，量子模拟算法可以精确地模拟分子和材料的行为，从而加速新材料的研发过程以及新药的开发31；在加密与安全方面，基于量子特性的加密技术，如量子密钥分发（QKD），提供了理论上绝对安全的通信手段；在优化问题上，量子优化算法可以帮助解决复杂的组合优化问题32。应用方面，金融机构已经开始探索使用量子算法进行市场趋势分析、风险评估和投资策略优化33，量子密钥分发和其他基于量子的技术正逐渐成为增强信息安全的重要工具。

定义

量子算法是在量子位和量子门上执行的有限序列，指令定义明确，用于解决一个或一类问题3。

发展历史

理论提出及探索阶段

1980年：美国阿贡国家实验室的Paul Benioff发表了一篇论文，提出了量子力学模型的图灵机，这是量子计算概念的初步探索。

1981年：诺贝尔奖得主理查德·费曼（Richard Feynman）在麻省理工学院的演讲中提出了量子计算机的概念，指出经典计算机难以有效模拟量子系统，而量子计算机可以。

1985年：英国牛津大学的大卫·德伊奇（David Deutsch）提出了量子图灵机的概念，并设计了第一个量子算法Deutsch算法。

1992年：Deutsch与剑桥大学的理查德·乔萨（Richard Jozsa）合作，扩展了Deutsch算法，形成了Deutsch-Jozsa算法，这是首个展示量子计算优势的算法。

通用量子算法发展阶段

1994年：彼得·肖尔（Peter Shor）提出了Shor算法，这是一个能够在多项式时间内解决大整数因式分解问题的量子算法，这对密码学产生了巨大影响。

1996年：Lov Grover提出了Grover算法，这是一种量子搜索算法，能够以平方根加速的方式在无序数据库中搜索特定元素。

2009年：Aram Harrow、Avinatan Hassidim和Seth Lloyd开发了HHL算法，用于求解线性方程组，相比经典算法有指数级加速效果。

专用量子算法繁荣阶段

2009年至2018年间：随着量子硬件的发展，研究人员开始探索非通用量子计算架构，即专用量子计算机，这些架构专注于解决特定类型的问题。例如，变分量子特征值求解器（VQE）和量子近似优化算法（QAOA）就是在这一时期开发出来的，它们被设计用来解决化学和优化问题。

量子AI探索阶段

2018年后：量子计算与人工智能（AI）的结合成为了新的研究热点。谷歌、IBM等公司开始探索如何利用量子计算来增强机器学习算法，例如通过量子神经网络（QNN）和量子支持向量机（QSVM）等。

基础概念

量子比特

一个量子比特（quantum bit，简称qubit）可由一个二维单位列向量表示。和是两个特殊的量子比特，称为可计算基态，用狄拉克符号表示为，。一般的单量子比特用表示，即。因此，且。

由于，所以存在实数、和使得，而对观测没有影响，因此可以忽略，即也可表示为。其中，，。可见，所有单量子比特与Bloch球面上的点一一对应，如图2.1所示4。

量子逻辑门

在量子计算中，通过对量子位状态进行一系列的酉变换来实现某些逻辑变换功能。因此，在一定时间间隔内实现逻辑变换的量子装置，称其为量子逻辑门（量子门）。量子门是在物理上实现量子计算的基础。单量子比特门可以由矩阵给出，对用作量子门的矩阵，唯一要求是其具有酉性，即，其中是的共轭转置，是单位矩阵。表2.2给出了常用的单比特量子门的名称及矩阵表示5。

|| || 表2.2 常用单比特量子门的名称及酉矩阵

由表2.2通过简单计算，可知和。应该指出，尽管门被称为门，但矩阵中出现的确是，这是因为

故将其称为门。

主要优势

并行处理能力

量子叠加：量子比特（qubits）不同于经典比特只能处于0或1状态，它可以同时处于这两种状态的任意线性组合。这意味着个量子比特可以表示种可能的状态，并且所有这些状态都是同时存在的。例如，一个3量子比特系统可以同时代表8个不同的状态：。当执行算法时，这相当于同时对个数据点进行操作。

并行计算：由于这种叠加性质，量子计算机可以在一次运算中对大量数据执行相同的操作。如果一个函数需要对每个输入值进行评估，那么量子计算机能够利用叠加态来一次性评估该函数对于所有可能输入的结果，这是量子并行性的体现6。

加速特定问题解决

并非所有计算任务都能从量子并行性和加速中获益，目前只有部分特定类型的问题被证明可以通过量子算法得到有效解决，如下文提到的Shor算法。

量子计算复杂性研究中最显著的结果之一是。很明显，，其中BQP（bounded-error quantum polynomial time）是量子计算机在多项式时间内可以解决的一类决策问题。BPP是判定问题的经典复杂类，它可以在经典图灵机上用多项式时间以有界错误概率求解。所以有。如果证明了，意味着量子计算机比经典计算机更强大，也意味着。但是，目前还不清楚是否成立29。

著名的量子算法

Deutsch算法

Deutsch算法是第一个量子算法。虽然该算法简单，但它体现了量子并行性和量子相干性的基本思想，也展现了量子算法的基本过程2。

首先介绍Deutsch问题