科普中国-加速度

速度的变化量与对应时间的比值，即速度的变化率，称为加速度（acceleration）。加速度是描述速度变化快慢的物理量，通常用a表示。加速度是矢量，方向是速度变化（量）的方向。在不同坐标系中，加速度可以分解为不同的分量。对于同一个加速度，选取不同的参考系，依据参考系间的相对运动，可以得到加速度在参考系间的变换式。在已知加速度的情况下，依据加速度的定义求解微分方程，可以得到研究对象的运动方程。

定义

速度v是时间t的函数，在t~t+t时间内，速度变化量为

则在t时间内的平均加速度（averageacceleration）定义为

当t趋近于零时，定义瞬时加速度（instantaneousacceleration），简称加速度，即

上式已运用，其中x是位移。

加速度的量纲为【L】【T】-2，常用单位为m/s²（读作米每二次方秒）。

加速度是矢量，具有大小和方向。在规定加速度的正方向后，加速度的正负号表示方向，绝对值表示大小。

加速度分解

直角坐标系分解

在固定标架的空间直角坐标系中，设质点的位置矢量r可分解为

其中x，y，z均是时间t的函数，是一组固定（不随时间变化）的正交基。则质点的速度可表示为

其中表示x对t的一阶导，表示x对t的二阶导，其它同理。则质点的加速度可表示为

设，，为沿三个坐标轴方向的加速度分量，则质点加速度可分解为x，y，z三个方向的分量。

极坐标系分解

将质点运动限制在平面并建立极坐标系，用r，θ分别表示极径与极角，用，（方向显然会改变）分别表示r，θ方向上的单位矢量。则质点的位置矢量r**可表示为

上式对时间t求导，可得质点的速度

其中，，图解如下图图微元法所示。1称为径向速度，称为横向速度。

v对t进一步求导，可得质点的加速度

整理，可得

称为径向加速度，称为横向加速度。则质点加速度可分解为r，θ方向上的分量。

自然坐标系分解

质点在做平面曲线运动时，可将运动轨迹分解为一系列无穷小圆弧段运动。对任意时刻t，设每一小圆弧段所属的曲率圆的曲率半径为ρ，以质点所在位置为原点，沿着该时刻v的方向设置切向单位矢量τ，对着该处曲率圆圆心的方向设置法向单位矢量n，以τ和n为基底（类似于极坐标系，这组基底的方向也会改变，对时间t的导数也有类似的规则）的坐标系即为自然坐标系。1如右图所示。

在自然坐标系中，质点的速度可表示为

求导可得加速度

称为切向加速度，称为法向加速度，则质点加速度可分解为切向和法向两个方向的分量。

注意：加速度在极坐标系和自然坐标系的分解中，涉及到的相关概念需要辨析。法向加速度和径向加速度并不等同，法向加速度和径向加速度的第二项也不等同，只有在质点做圆周运动且极坐标系原点选在圆心位置时三者才相等。

加速度变换

平动变换

设S系为一惯性参考系，S’系相对于S系平动，即对应坐标轴始终相互平行地运动（直线和曲线运动均可）。设质点在S系中位矢为r（t），在S’系中位矢为r’（t’），S’系原点O’在S系中位矢为，如右图所示：

则有如下关系

根据伽利略相对性原理，，则有

由此可得

通常将称为绝对加速度（下同），称为相对加速度（下同），称牵连加速度。

定轴转动变换

设S系为一惯性参考系，S’系与S系原点重合，S’系以垂直于坐标平面的角速度ω，角加速度β相对于S系定轴转动。设质点在S系中位矢为，在S’系中位矢为。如下图所示：1

则有如下关系

对于基矢量，有

其中分别表示在S和S’系下对时间求导。因为标量对时间求导不受参考系影响，因此有

代入，即

仿照上一步，再次求导可得

展开并整理，最终得到

其中称为切向加速度，称为科里奥利加速度，称为向心加速度，这三项共同构成牵连加速度。

加速度与运动

由于二维及以上运动涉及的微分方程常常极其复杂，故在此不做阐述，仅考虑一维运动情形：

当已知时，只需对