高俊科趣谈无理数e(九-1)这些大学教材中关于连续(复利)计算公式的解释是不是都错了?

九–1 这些教材关于连续(复利)计算的解释错在哪里?

(题解：这文章提的问题醒目、尖刻，这是为了引起人们重视，以便能推动尽快改正这一长期广泛存在的错误。这错误不是哪家出版社的错误，是国内外相关书籍中都存在的错误。我从1988年在《数学的实践与认识》上发表文章《关于所谓增长率的连续计算问题》

第一次指出这方法错误以来30多年过去了，这错误方法还在多门大学课程教材中广泛存在。

关键问题是，这种计算方法到底对不对？欢迎一起探讨。)

1982年中国人民大学出版社出版的《经济应用数学基础（一）微积分》的叙述（该书63页）

是：“我们先从实际问题来看看这种数学模型的意义。例如计算复利息问题。设本金为A。，利率为r，期数为t，如果每期结算一次，则本利和A为

A= A。(1＋r）^t

如果每期结算m次，t期本利和Am为

Am= A。（1＋r/m）^(mt)

在现实世界中有许多事物是属于这种模型的，而且是立即产生立即结算，即m→∞。如物体的冷却、镭的衰变、细胞的繁殖、树木的生长等等，都需要应用下面的极限：

lim A。（1＋r/m）^(mt)

这个式子反映了现实世界中一些事物生长或消失的数量规律，因此，它是一个很有用的极限”。

这段叙述得出连续计算公式是这个极限式

lim A。（1＋r/m）^(mt)=A。e^(rt) .

关于这教材叙述错在哪里?我们思考这几个问题自己就可以得出结论。

1 我们有恒等式A。(1＋r)^t=A。e^(txln(1＋r))

=A。e^(Rt), R=ln(1＋r)

和这恒等式和这恒等式的另一种表达方式

A。e^(Rt) =A。(1＋e^R–1)^t

=A。(1＋(e^R–1))^t ，e^R–1=r.

这样根据A。(1＋r)^t推得A。e^(Rt),R=ln(1＋r)是不是正确的?

(答案应当是这没有任何问题)

2 A。(1＋r)^t=A。e^(Rt),R=ln(1＋r).是恒等式，如果等式后边A。e^(Rt)能做时间变量取连续实数的连续计算，等式前面的A。(1＋r)^t能不能用作连续计算? 物体的冷却、镭的衰变、细胞的繁殖、树木的生长本身会不会区分t是否为整数?认不认是否连续计算?A。(1＋r)^t能不能用来表达这些事物随时间连续变化的规律?

(能不能进行连续计算由事物本身决定，不是由函数的表达形式决定，A。(1＋r)^t同样能用作连续计算)

3 对于如物体冷却、镭的衰变、细胞的繁殖、资金增值这些呈指数函数规律增长的事物，知道初值A。和另一时刻t1的值A(t1)后，求得A(t1)=A。(1＋r)^t1中的参数r与 A(t1)=A。e^(Rt1)中的参数 R是不是必有R=ln(1＋r)?

(两个参数含义不一样，对同一事物必定有这关系)

4 对同一事物，知道初值A。和另一时刻t1的值A(t1)后，求得A(t1)=A。(1＋r)^t1中的参数值r，能不能用作 A(t1)=A。e^(rt1)中的数值r?

注意，连续复利计算公式的推导就是把A。(1＋r)^t中的数值r拿到A。e^(rt)中用?

(不能这样用，根据所谓连续复利计算方法就犯了这错误)

5 用文字表述，指数函数式A=A。(1＋r)^t中的r是一时间单位中任一单位事物的增长量；用数学式子表达就是r=(A(t 1)-A(t))/A(t).这本身是不是已经包含了事物“立即产生立即结算”的增长结果?

从没有人像解释A=A。(1＋r)^t中的r一样，用简短清晰的语言给出指数函数式A。e^(rt)中r的数学式解释和文字解释。

(本篇集中思考这种连续计算方法错在哪里，以后有专篇谈A。e^(rt)中r的数学式解释和文字解释)

6 应当明白，指数函数式A。e^(rt)与指数函数式A。(1＋r)^t一样，都“反映了现实世界中一些事物生长或消失的数量规律”，这两个式子中的参数从不同方面刻画了同一事物随时间变化的同一规律 ，A。e^(rt)在描述镭的衰变、细菌繁殖、化学反应、资金增值等事物的变化规律上是有特别重要应用的式子。

数学中的极限式（1＋1/m）^m= e有特别重要的应用，指数函数A。e^(rt)中就必须用到e.

A。e^(rt)与（1＋1/m）^m= e的重要意义与这教材中讲的推导是两回事，这书中根据A。(1＋r)^t引发的推导，然后说“lim A。（1＋r/m）^(mt)这个式子反映了现实世界中一些事物生长或消失的数量规律”是不是错了？是不是把读者讲糊涂了？

这种连续复利的讲法在1997年诺贝尔经济学奖得主罗伯特.C.莫顿与人合著的《金融学》中也存在，

1997年诺贝尔经济学奖奖项中存在这错误必定进一步促进了这种连续复利计算公式的流传，我们将在后边的文章中分析。

(为让网友们把问题看清楚透彻，这篇写得比较长一点，本文论述是详细?还是叫啰嗦?也希望听到网友们的意见。)