高俊科趣谈无理数e(九-2)这些教材中关于连续(复利)计算公式的讲述错在哪里

九 这些教材中关于连续(复利)计算公式的讲述错在哪里(例二)

(题解：这里一一分析这些教材中的错误是为共同探求知识，是为了从各个方面看清楚这种长期广泛存在的计算方法的错误所在，尽快改变这一错误广泛存在的现象，让学生们学到正确的而不是糊涂的知识。

这错误不是哪几家出版社的错误，是国内外数学科普读物中和经济数学、金融学、货币银行学、工程经济学、公司理财等多门课程教材中都存在的错误，1997年诺贝尔经济学奖奖项中也存在这错误。改正这种错误仅靠在杂志上发文章还是不能解决问题，从1988年在《数学的实践与认识上发《关于所谓增长率的连续计算问题》

以来30多年了，这种错误方法还是在多门课程教材中存在)

1995年浙江大学出版社出版的《微积分教程》关于连续(复利)计算的讲法实际是，费力气、绕弯路、走错路。

该书58页

讲，“例14 设有某种游离物质C。克分子，假定在单位时间内此物质有p%起反应，求反应过程中任意时刻t尚有多少克分子未起反应。

解 由假设在一个单位时间起反应的物质为p%xC。克分子，尚未起反应的物质的量为C。– p%xC。=C。(1– p%)；

同样，在两个单位时间末未起反应的物质为

C。(1– p%)–p%xC。(1-p%)=C。(1– p%)^2

由此可知t个单位时间末未起反应的物质为

C。(1–p%)^t (4-12)

以上只是把反应看作是经过整数个单位时间跳跃式地发生的，其实反应是连续不断地进行的，因此，为了更接近实际，把反应时间的间隔分得更细，一个单位时间分为n等分，反应百分数

p%缩小n倍，发生反应的次数增加n倍，如此，经过t时刻末尚未起反应的物质为

C。(1– p/(100n))^(nt) (4-13)

令p%=k,则(4-13)式化为C。(1– k/n)^(nt)，当n越大，问题就越接近实际，因此，要解决的问题，就须令n→∞取极限，即反应过程中任一时刻t尚未起反应物质的克分子数为

C(t)=limC。(1– k/n)^(nt)

=C。lim[1＋ 1/(–n/k))^(n/k)]^(nt)=C。e^(-kt);

在现实中，这类数学模型与方法是经常遇到的。其它如：放射性物质的衰变;细胞的繁殖;连续计算复利的本利和以及由它导出贴现公式;物体被周围介质冷却或加热;大气压随地面上的高度的变化;电路的接通或切断时，直流电流的产生或消失过程等。”

对这例题的解答叙述需要思考几个问题是：

一 这段叙述中在得到C。(1– p%)^t (4-12)后说，“以上只是把反应看作是经过整数个单位时间跳跃式地发生的”，这话是错误的，在小学学到增长率(变化百分比)概念时，并没有说这概念只对跳跃式变化的事物才能应用。

二 下边接着叙述说，这化学反应“是连续不断地进行的”，这句话错在：一单位时间(一年，一月或是一天)的增长率概念(变化百分比)说的是单位时间事物的变化结果，这结果不涉及这一单位时间内是怎么变化的。这结果既包括事物不随时间连续变化情况，也包括事物随时间连续变化情况，包括随时间连续呈线性变化情况，也包括随时间连续呈二次函数变化情况，还包括随时间连续呈指数函数规律变化等各种情况。

例如，一棵树高10米，树是连续长高的，一年长高10%：一根旗杆10米高，一年中某月的某一天给它加高10%，一年后计算旗杆和树的高度，方法一样，得数一样，都是10(1 ＋10%)=11米。

三 接下来解释，“为了更接近实际，把反应时间的间隔分得更细，一个单位时间分为n等分，反应百分数p%缩小n倍”。

这种解答根据何在？化学反应随时间是按指数规律变化?还是按线性规律变化?这种将本来随时间呈指数函数规律变化的事物按随时间呈线性函数规律划分其增长量的思维是背离实际的，是一种自我矛盾的想象，因而是错误的。

四 在得出“经过t时刻末尚未起反应的物质为

C。(1– p/(100n))^(nt) (4-13)

后的叙述是，“当n越大，问题就越接近实际，因此，要解决的问题，就须令n→∞取极限”。

这解答错误的思维基础是，求极限就得精确值。

须知，当求极限得精确值的方法不能乱用，求极限得精确值是有前提的。例如，利用n个小矩形面积之和代替曲边梯形面积是近似的，只有当n→∞取极限后，才能得到曲边梯形的准确面积，而这里的解答恰恰相反。

五 对于“如：放射性物质的衰变;细胞的繁殖;连续计算复利的本利和以及由它导出贴现公式;物体被周围介质冷却或加热;大气压随地面上的高度的变化;电路的接通或切断时，直流电流的产生或消失过程等”各种随时间连续呈指数函数规律变化的事物，这例题前边讲的公式

C。(1– p%)^t (4-12)

本身就是连续计算公式，可以用来计算任意时刻t的精确值(对于随时间增加的事物将“– ”改为“＋”)。

前面一篇文章已经解释过一次，这里再说一次。对要计算的具体事物，如果测得其它任意一时刻t1的精确值C(t1) (至于这里说的C(t1)是不是精确值，这就不是数学计算方法问题了，是实际工作中的测量方法问题，实际工作的测量没有绝对的准确，但数学方法必须清晰)，就可根据一元方程

C(t1)=C。(1– p%)^(t1)

求得精确值p，也就可以利用公式(4-12)计算任意时刻t的精确值 C。(1– p%)^t .

这里的指数函数式 C。(1–p%)^t 本身就是连续计算公式，就是精确计算公式。

综合以上分析，我们可以有结论：这里讲的所谓连续(复利)计算方法实际是费了力气、绕了弯路、走错了路。