高俊科趣谈无理数e(九-5) 这些大学教材中关于连续(复利)计算公式的讲述错在哪里

九-5 这些大学教材中关于连续(复利)计算公式的讲述错在哪里(例5)

(题注：连续(复利)计算方法存在时间长，存在范围广。多年辨析这问题的历程说明，只有从这方法的构成、解释、应用多角度地广泛地分析清楚各种书籍中关于连续(复利)计算方法错误，才能全面认识这一问题，才能推动改变这一错误方法，所以本《趣谈》也就只能这样一本一本地来分析这些教材中的错误了)

2008年机械工业出版社出版的一本《高等数学》第26页中以林木生长为例讲连续(复利)计算公式。

“引例： 一片森林，现有木材A。m^3,如果年平均生长率为r,问t年后这片森林有木材多少m^3?

解 我们可能想到中学学过的复利公式，列出t年后这片森林的材积

A= A。(1＋r）^t

然而这是在森林一年长一次的假设下得到的，显然与实际不符，假设森林在一年内生长m次，每次生长率为r/m，则t年后的材积为

A= A。（1＋r/m）^(mt)

但是，森林的生长是每时每刻都在进行着的，所以应认为m→＋∞，因此t年后的材积为

A=lim A。（1＋r/m）^(mt) ”

我们稍分析一下就会看清楚，这样计算树木生长问题错得太远了。

我们先明确一点，这里的“增长率”就是人们生活中经常用到的概念，森林“年平均生长率为r”就是每一年的增长率都是r。百度一下也可看到对这“年平均生长率”的解释(见下面截图)，再有就是，这引例解答中也没有给出另外含义的解释。

看讲这引例中的混乱。

错误一 ： 说公式 A= A。(1＋r）^t

“是在森林一年长一次的假设下得到的”，哪里有这种假设?这假设根本不成立。

错误二：这森林材积到底是按什么规律生长的?

这引例是要推导出最终的指数函数式

lim A。（1＋r/m）^(mt) =A。e^（rt)，想以这指数函数确切表达这片森林林材的生长规律，既然认可这林材是按指数函数规律连续增长的，那么“假设森林在一年内生长m次，每次生长率为r/m”道理何在？为什么这里按线性关系增长对生长率等分?

错误三：t只取整数时，指数函数A= A。(1＋r）^t能不能用来表达这些事物呈指数函数规律变化?对随时间连续呈指数变化的事物，t取连续实数，这指数函数A= A。(1＋r）^t能不能描述事物变化的规律?

结论只有一个，这种所谓连续(复利)计算的推导是错误的，多学科中讲的连续(复利)计算本身就是错误的，对错误知识，怎么讲也讲不对。 解答这引例的问题，用A。(1＋r）^t既可计算t取整数时的林材材积，也可用来计算t取任意正实数的林材材积。

用这种比较直观一些的林木生长的引例不能论证出连续(复利)计算公式的实用性，用这例子揭示连续(复利)计算方法的错误更显得直观一些，更容易理解这种连续(复利)计算的错误。