高俊科趣谈无理数e(九-6 )这美国大学教材中关于连续(复利)计算公式的讲述错在哪里(例6)

(九-6)这美国大学教材中关于连续(复利)计算公式的讲述错在哪里(例6)

(题注：我们近代的高等数学教材、金融学、工程经济学等教材是从西方学来的，错误的连续(复利)计算方法在国外长期广泛存在，这错误也就照办到我国的教材中了。本篇分析一本美国人编写的《微积分及其应用》中是怎么错误讲授连续(复利)计算公式的。对这错误方法有多种讲法，只有从这方法的构成、解释、应用多角度地分析国内外各种书籍中关于连续(复利)计算方法错误，才能全面认识这一问题，才能推动改变这一错误方法广泛存在的现象，所以本《趣谈》也就必须这样做了。)

我们本篇分析2006年机械工业出版社出版的美国人Marvin L.Bittinger 编写的《微积分及其应用》(英文第8版)中文翻译本中是怎么讲永续复利(连续复利)的。

“例4 商业：永续复利 假设投入资金p。到储蓄中，年永续复利率为7%，即结存p的增长率为dp/dt=0.07p

a) 根据所给出的p。和0.07求满足这个方程的函数。

b)假设投资100美元，一年后结存是多少？

c) 多少时间之后所投资的100美元能翻一番? ”

这书中随后用求微分方程dp/dt=0.07p的方法和先构造数列A= p。(1＋r/n）^(nt),再令n趋于无限大求数列极限 lim A= P。(1＋r/n）这两种方法得出同样的答案p=p。e^(0.07t)。

对这问题用两种不同的数学方法解答，这就给人以非常严密、正确的感觉。其实只要我们仔细分析一下，就可以看清楚，这解答存在着严重的概念混乱和错误。

我们可以看到，这里讲的永续复利计算与本《趣谈(九)》前面讲的5本教材中讲的连续(复利)计算的数学思维、数学公式一样，错误也一样，因此，我们可以认定，这里讲的就是通常教材中讲的连续(复利)计算公式。

这样讲的混乱是：在经济应用上，对于这例题中的“年永续复利率为7%，即结存p的增长率为dp/dt=0.07p”，这样给出的“年永续复利率0.07”的经济含义是什么，这书中从未解释;在数学方法上，这样讲的“年永续复利率0.07”表达的是时间段上的变化，还是瞬时的变化，也是一笔糊涂账。

如果“年永续复利率0.07”是一年的利率，则为dp/dt=0.07p，即0.07=(dp/dt)/p不成立; 由本《趣谈(九)》前面分析的5部教材中的问题可知，用构造数列求极限的方法得出p=p。e^(0.07t)也是说不通的。

如果“年永续复利率0.07”是不同于通常的年利率含义，表达的是瞬时变化的含义，则微分方程式dp/dt=0.07p成立，一是这种定义与多门课程教材中讲的连续(复利)计算公式无关；二是用这样的永续复利r=0.07概念去构造数列 p。(1＋r/n）^(nt)就是十分明显的错误了。

总之，无论怎么讲，这书中的“例4 商业：永续复利–––”都存在着概念混乱和错误。 形成这错误的根源还是陷入了“连续(复利)计算”的思维。应用“连续(复利)计算”方法讲任何问题都讲不对，也不可能讲对。

我们在本《趣谈》(八)中有如下图片中的论述

各种教材中讲的应用也必定是不对的，欢迎各位关注，深入讨论这一问题。