剖析雅各布.伯努利一影响深远的方法错误──兼谈无理数e的秘密 八

八 从八个方面剖析长期多门课程中存在的连续复利计算模型的错误

(题注：为什么要从多方面来剖析这种连续复利计算模型的错误，理由有三：

1. 雅各布.伯努利把联想当数学推理，提出这种错误“连续复利法”已300多年了，后世人盲信权威，雾里看花，在此基础上构成的“连续复利计算模型”，也存在很长时间了。

2. 错误的“连续复利法”在国内外数学科普读物中广泛存在，

在经济数学、金融学、货币银行学、工程经济学、技术经济学、公司理财多门课程中存在，在1997年诺贝尔经济学奖奖项中存在。

关于这种连续复利计算公式还有多种错误讲法、有多种错误解释、多种多种错误应用；

3. 这问题很基础，也很简单，但涉及数学和经济，涉及理论和应用，涉及确定和随机，涉及权威的正确和失误，涉及面广，这就很难让人相信，这么简单的、长期广泛流行的基础知识会有错误，以致这错误长期广泛存在很难改正。

所以这里就不得不详细来从多方面剖析这一方法了。)

先看什么是连续复利法和连续复利计算模型。

雅各布.伯努利研究的复利故事是：有个商人向财主借钱，年利率是100%。这财主想，每借出1元，年利率100%，一年后商人要连本带息还2元。财主又想，如果半年计算一次利息，利率是50%,半年后利息是0.5元，将0.5元转入本金，本息和就是1.5元，下半年又得50%的利息，一年后的本息和就是2.25元；按这样的想法，一年中结算次数越多，每分钟每秒钟计算一次，他就会得到更多的钱。日本人远山启的《数学与生活》中叙述是，“当将利息转入的次数无限增多时，其结果就是要在瞬间将利息转入，即连续地转入利息的复利法，由此，数学家雅各布.伯努利(1654-1705)把它称为“连续复利法””。

以此思维，在多门大学教材中讲的连续(复利)计算模型是：设初始资金是A。，年利率是r,于是就有t年后的资金总额公式

A。(1＋r)^t (时间变量t只取整数) (1)；

如果一年中计算m次，每次利率为r/m，就有复利分期计算公式A。(1＋r/m)^(mt) (2):令m趋于无穷大，得连续复利计算模型A。e^(rt) (3)。

构成连续复利计算模型存在八个方面的致命错误

(一)思维基础错误

前面第二至第五篇已阐述清楚，资金本身增值规律是复利，也就是连续复利；借出方和借入方的思维也都是复利，即连续复利，支撑单利表达的是复利，是连续复利。人们通常使用的年利率的平均值r本身就体现了资金的连续复利的增值规律，也就是说，人们千百年来使用的复利公式A。(1＋r)^t是合理的。反过来讲，如果A。(1＋r)^t中的年利率r不体现资金的增值规律，这个年利率r是不是无源之水，是不是凭空产生的?如果这个r不体现资金的增值规律，那怎么根据这不体现资金增值规律的年利率r推导出A。e^(rt) 怎么就是体现资金增值规律?

就是说，从哪一方面讲，这种构成连续复利计算公式(3)的起始点都不对。

(二)背离实际生活

推导过程中用到的复利分期计算公式A。(1＋r/m)^(mt) (2)在金融活动中不存在。实际的金融生活中，复利分期计算公式是A。(1＋r(m)/m)^(nt)，而不是这里的(2) 式。即名义年利率r(m)随一年中的计息次数m增加而变化，中国银行现行不同储蓄期的年利率表就可证明这一点，一年计算四次，即三个月期储蓄的名义年利率1.35比一年计算两次即半年期的名义年利率1.55小。

还有，这种分期计算公式(2)在其它任何领域都不存在。

(三) 推导逻辑混乱

这一点可以从两个方面讲。一是仅在A。(1＋r(m)/m)^(mt) 中，一年计算两次的名义年利率r(2)与一年计算四次的名义年利率r(4)的具体含义不一样，数值不一样。就是说r(2)与r(4)实际概念就不一样。对(2)式求极限的过程就是不断改变名义年利率r(m)的过程。二是，这种推导是后一步否定前一步的过程，在A。(1＋r)^t中 ，时间变量t只取整数，在A。(1＋r/m)^(mt)中，时间变量可以取分散的时间点， 在A。e^(rt) 中，时间变量又改成可以取连续实数，每一步都是对前一步的否定。这在任何推理中都说不通的。

(四)推导方法混乱

连续复利计算模型的构成是，先按单利规律(线性关系)分期计算，再按复利规则(按指数关系)计算总值：先分再和，“分”与“和”采用了不同的方法，去和回走的不是一条路，做为从(1)式到(2)再到(3)式的推导前后矛盾。

(五) 推导结果矛盾

根据A。(1＋r)^t (1)推得连续复利计算公式A。e^(rt) (3)，对于年利率10%，就是根据A。(1＋10%)^t 推导出A。e^(0.1t)=A。(1＋10.517%)^t，也就是根据10%推得10.517%，这是用任何数学知识都做不到的。

(六)概念混乱

在公式A。(1＋r)^t(1)中，r是人们都知道的年利率概念；在推出的连续复利计算公式A。e^(rt) (3)中，r被当成了所谓连续复利率概念，这种稀里糊涂变换同一字母含义的推导在任何领域都是不应该存在的，是错误的。

还有就是，至今没有人对这样得到的连续复利率概念给出清晰的数学解释，也没有人能用清晰简短的语言给出文字解释，以后我们将对此进行分析。

(七)数学知识错误

我们知道，当时间变量t只取整数时，即所谓只能进行离散计算时，我们可以有恒等式A。(1＋r)^t=A。e^(txln(1＋r))A。e^(Rt),R=ln(1＋r),当时间变量取连续实数时，即所谓能进行连续计算时，我们也有这恒等式。

就是说，A。(1＋r)^t可以用作离散计算式，也可作为连续计算式；同样道理A。e^(Rt)可以作为连续计算式，也可以作为离散计算式。

在数学应用上，需要不需要，能不能进行连续计算，是由事物本身特性决定的，不是由这指数函数的形式决定的。仅从数学公式形式上把A。(1＋r)^t看成离散计算公式，把A。e^(Rt)看成连续计算公式，是一种数学知识错误。

(八)把联想当数学推理

在各领域，公式A。(1＋r)^t (1)有着广泛应用，根据这一公式，可以想到实际结构一样的式子A。(1＋r/m)^(mt)(2)，但根据(1)式推不出((2)式，由(2)式可以想到令n趋于无穷大求极限

limA。(1＋r/m)^(mt)=A。e^(rt) (3)，但是根据(2)推不出((3)。注意，由(1)到(2)再到(3)式是一种联想关系，对同一个具体事物，这不是数学推导。

认定这种连续复利计算公式正确的最基础的原因是，把这种联想当成了数学推导。

这种方法存在广泛，仅我们查到记录下来的，各种教材中错误讲授这种连续复利计算公式的教材就有有800多种。这种连续复利计算公式构成是错误的，关于这种连续复利计算公式的各种讲授、解释和应用也都必然是错误的。我们下边将对一些教材中有代表性的叙述进行分析。

讨论问题是为探求真知，欢迎质疑和反驳，本着对广大学生负责的意愿，共同把这一知识搞清楚。