陀螺为什么不倒下？什么是力矩和角动量？

许多人小时候玩过陀螺，陀螺在高速旋转时可以保持不倒，但是一旦停止转动，陀螺就会向某一侧倒下。这是什么原因呢？

如果大家仔细观察，就会发现下列现象：在陀螺旋转比较快时，陀螺轴线摇晃得慢；在陀螺旋转比较慢时，陀螺轴线摇晃得快；而且，如果陀螺不是稳定在竖直状态，而是在摇晃脑袋的话，那么逆时针转动的陀螺，它的轴线也会逆时针摇晃；顺时针转动的陀螺，它的轴线也会顺时针摇晃。

这个生活中常见的现象，其实具有深刻的物理内涵，需要使用力矩与角动量的概念进行解释。

一.力矩

力矩的概念其实在初中学习过了。

如图：有一个杠杆，O为支点，杠杆可以绕O点转动。在某点作用一个力F，从O点到力F的作用线的距离称为力臂r。力F和力臂r都是有方向的，在物理上叫做矢量。

我们知道：力越大，力臂越长，对物体的转动作用越强。我们用力矩来表示这个转动作用。力矩的表达式为：

按照这种规则，我们可以判定出上图中力F的力矩方向是垂直纸面向里的。

二.角动量

我们再来说说角动量，角动量是一个比较难以理解的概念。对于一个旋转的物体，它的角动量与它的形状、质量、和转动角速度都有关系。对于一个特定物体，它转动得越快，角动量就会越大。在同样的转动角速度下，物体的质量分布远离转轴，就比靠近转轴时角动量大。

例如：一个人手持哑铃转圈，转得越快角动量越大。如果转动速度一定，两手伸直时的角动量就比哑铃缩在胸前时角动量大。

角动量的方向也可以用右手定则来判定。我们用右手握住陀螺，四指指向陀螺的旋转方向，大拇指就指向角动量的方向。也就是说，如果陀螺逆时针旋转，角动量方向向上。如果陀螺顺时针旋转，角动量方向向下。角动量我们用字母表示。

三.角动量守恒

下面就可以讨论力矩M与角动量J的关系了。人们根据牛顿定律进行推导，得到了以下结论：

如果一个物体所受合力矩为零，则角动量守恒。

如果一个物体没有力矩的作用，即，这有可能是因为物体不受力的作用、或者虽然受到力的作用，但是作用力过转轴，造成没有力臂。此时，物体的角动量大小和方向都保持不变，称为角动量守恒。角动量守恒的时候，陀螺的转轴方向和转动速度都不会发生变化，即陀螺绕一个固定的转轴以固定的角速度匀速转动。

陀螺仪就满足这个特点。一个简单的陀螺仪的结构如下：让陀螺仪中心的圆盘旋转起来之后，无论陀螺仪外圈如何旋转，中心的盘面方向总是保持不动的。现代陀螺仪都是利用这个原理制作的。飞机火箭等都要通过安装陀螺仪来保持平衡。

再比如花样滑冰运动员在转圈时，总是先把两手伸直再开始旋转，然后突然把手伸到头上。因为角动量守恒，她的质量分布更加靠近转轴，那么角速度就会自然变大。

四.角动量定理

如果一个物体有力矩，那么它的角动量就是变化的，而且，就像牛顿第二定律中力与速度变化率成正比那样，物体受到的力矩也与角动量的时间变化率成正比。

这个公式比较复杂，但是我们只需要通过这个公式知道一点：

力矩的方向与角动量的变化方向是相同的，就可以解释旋转中的陀螺为什么不会倒下，而是晃脑袋了。

比如，我们有一个逆时针旋转的陀螺（根据右手定则，他的角动量是向上的）。此时，它受到地面的支持力N和重力G的作用。但支持力N过支点O，所以它没有力臂，因而也就没有力矩。重力G不过支点，存在力臂和力矩。通过右手定则可以判定：重力的力矩的方向是垂直纸面向里的。

那么，这个力矩就会造成陀螺角动量垂直纸面向里变化，也就是轴线绕着垂直地面的直线逆时针旋转，这个过程就称为进动。

换句话说，如果陀螺在图示位置停止转动，重力的力矩会使陀螺向右倒下。但是在陀螺旋转的情况下，重力的力矩造成的结果是使得角动量的方向发生变化，这种变化就是陀螺的轴线绕着中心的z轴转动，但是却不会倒向地面。

如果陀螺转动得比较快，那么角动量就比较大，进动会比较慢；如果陀螺旋转速度慢下来，那么角动量就会变小，但是力矩却没有减小，这样在力矩作用下，陀螺的进动就会比较快。所以我们会发现：在陀螺逐渐慢下来的时候，它晃脑袋的速度反而越来越快，最后倒在地面上。

车轮在旋转的时候也会有角动量，如果自行车稍微倾斜一下，力矩会使得车轮进行进动，整体表现为自行车不会倒下，而是转弯。自行车的问题比较复杂，角动量问题只是其中一小部分。

五.还能再给力一点吗？

还有一个比较有意思的例子是地球。

我们知道，地球也在绕地轴旋转。太阳对地球的引力过地心，不会产生力矩，所以地球的角动量是守恒的。根据刚才说明的规则，地球的角动量方向是指向北极的。

假如北半球站立一个人，他绕着自己的轴逆时针旋转，那么它也会具有与地球方向相同的角动量。但是地球整体的角动量是守恒的，这就意味着这个人会剥夺地球一部分角动量，地球的角动量会减小，转速变慢，一天的时间就会变长，尽管这个变化微乎其微。

来源：李永乐老师