勾股定理如何证明？爱因斯坦和赵爽，谁的方法更简单？

关于“勾股定理”的历史最早可以追溯到公元前1世纪，而介绍勾股定理的书籍就是《周髀》，后来到了唐朝，《周髀》被列为国子监明算科教材，遂改名《周髀算经》。

中国古代将直角三角形的短边称之为“勾”，长边称之为“股”，而斜边则称之为“弦”，《周髀算经》中明确记载了勾股与弦之间的关系，也就是我们所熟知的，勾的平方加上股的平方就等于弦的平方，“勾股定理”也因此得名。不过，发现这个定理的不仅只有我国的先贤，在大约半个世纪以后，古希腊著名的数学家和哲学家毕达哥拉斯也发现了这个规律，所以勾股定理也称“毕达哥拉斯定理”。

不过，发现勾股定理是一回事，证明勾股定理就是另一回事了。

迄今为止在世界范围内已知的勾股定理证明方法已接近500种，而在《周髀算经》之后第一个证明勾股定理的中国人应该是一个名为赵爽的人。赵爽是我国古代一位著名的数学家，同时也是一位天文学家，其人生于东汉末年，是三国时期孙权治下的吴国人，他在数学上的最大贡献就是对《周髀算经》进行了深入的研究，并创作了《周髀算经注》，在这本书中，他用一个简单的方法证明了勾股定理的正确性。赵爽是如何证明勾股定理的呢？他将四个相同的直角三角形进行了拼合，从而形成了一个大的正方形，而正方形的四条边就是四个直角三角形的弦，也就是斜边。

从图中我们可以看出来，赵爽所拼合而成的大正方形是由四个直角三角形与一个小正方形所组成的。

很显然，大正方形的面积就等于四个直角三角形的面积加上中心小正方形的面积。大正方形的面积是多少呢？就是“弦的平方”。小正方形的面积是多少呢？就是“股减去勾”的平方。直角三角形的面积是多少呢？就是二分之一的“股乘以勾”。现在就可以将三个面积列为一个等式了，即：（股-勾）²+（4X1/2X股X勾）=弦²。对这个等式进行简化计算，就可以得到最终的结果，即：勾²+股²=弦²。成功证明了勾股定理。

赵爽是《周髀算经》后第一个证明勾股定理的中国人，而世界上第一个证明勾股定理的人应该是欧几里德，因为毕达哥拉斯虽然是西方最早提出勾股定理的，但他的证明方法并没有流传下来。

赵爽虽然不是世界上第一个证明勾股定理的人，但他的证明方法胜在足够简单。那么，还有没有其他人提出过比较简单的证明方法呢？有，比如我们都非常熟悉的物理学家爱因斯坦，他在11岁的时候便使用自己的方法证明了勾股定理，而他所使用的方法也是非常简单的。让我们来看看与赵爽相比，到底谁的方法更简单。爱因斯坦所使用的方法是将直角三角形一分为二。

爱因斯坦以直角三角形的直角为顶点，做一条垂直于斜边的垂线，于是直角三角形便被一分为二了。

现在的情况很有意思，整幅图中有了三个三角形，即小三角形、大三角形和分割前的最大三角形，而这三个三角形又恰好是相似三角形。所谓相似三角形就是对应角相等，对应边成比例。而三个三角形的斜边分别为原三角形的勾、股、弦。之后爱因斯坦以三个三角形的斜边作为正方形的边画出了三个大小不等的正方形，而三个正方形的面积就分别为勾²、股²、弦²。由于三个三角形是相似三角形，所以每个三角形与对其对应的正方形的比例是相同的。

也就是说所，两个小三角形的面积相加等于大三角形，所以两个小正方形的面积相加就等于大正方形的面积。

由于三个正方形的面积分别为：勾²、股²、弦²，所以就可以写为：勾²+股²=弦²。很显然，爱因斯坦的证明方法也是比较简单的，但相比之下，似乎还是赵爽的更简单一些。但是不要急于下定论，这里边还有一个隐藏的部分，就是爱因斯坦其实没有必要画正方形。因为对于相似三角形而言，面积之比就等于边长的平方比，所以直接就可以得出“勾²+股²=弦²”的结论，这样一来，其简单的程度就与赵爽不相上下了。那么爱因斯坦为什么要画蛇添足般的画正方形呢？很可能是因为11岁的爱因斯坦并不知道相似三角形的面积比就等于边长的平方比。

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