勾股容圆

　　勾股容圆是通过勾股形和圆的各种相切关系求圆直径的问题，这是中国数学史上的一个重要问题。西汉的《九章算术》勾股章有已知勾股形的勾、股求其内切圆直径的问题，开创了勾股容圆的研究，其给出的公式是“三位（即勾、股、弦）并之为法，以勾乘股，倍之为实，实如法得径一步。”此即圆径d=2aba+b+c.刘徽用出入相补原理和率的理论（借助衰分术）两种方法证明了这个公式。

　　宋金时期，洞渊在此基础上研究了同一个圆和各种勾股形的相切关系，给出了由勾股形的三边求圆径的9个公式，称为“洞渊九容”。洞渊是道教的派别，通“九数”，活跃于唐宋。李冶由洞渊九容演绎成《测圆海镜》（1248年），其中讨论了勾股形与圆的10种相切关系，并在卷一之首绘出“圆城图式”。

　　除《九章算术》中所载情形，还有：圆心在勾上而圆切于股、弦，称为勾上容圆，圆径d=2abb+c；同样，股上容圆d=2aba+c；弦上容圆d=2aba+b；圆心在勾股交点（垂足）而圆切于弦，称为勾股上容圆，d=2abc；圆切于勾及股、弦的延长线，称为勾外容圆，d=2abb+c-a；同样，股外容圆d=2aba+c-b，弦外容圆d=2aba+b-c；圆心在股的延长线上而圆切于勾、弦的延长线，称为勾外容圆半，d=abc-a；同样，股外容圆半d=2abc-b. 这10种关系中哪9种是洞渊九容的内容，尚无足够资料论定。自然，圆城图式也应是洞渊九容的附图，而李冶作了补充。清代李善兰又补充了3种容圆关系：勾弦上容圆d=2abb，股弦上容圆d=2aba，弦外容圆半d=2abb-a.