埃尔米特伴随

　　数学上，特别是泛函分析中，希尔伯特空间中的每个线性算子有一个相应的伴随算子（adjoint operator）。算子的伴随将方块矩阵共轭转置推广到（可能）无穷维情形。如果我们将希尔伯特空间上的算子视为“广义复数”，则一个算子的伴随起着一个复数的共轭的作用。

　　一个算子A的伴随常常也称为埃尔米特伴随（Hermitian adjoint，以夏尔·埃尔米特命名），记作A*或A†（后者尤其用于狄拉克符号记法）。

　　有界算子

　　假设H是一个希尔伯特空间，带有内积。考虑连续线性算子A:H→H（这与有界算子相同）。

　　利用里斯表示定理，我们可以证明存在惟一的连续线性算子

　　A*:H→H具有如下性质：，对所有。

　　这个算子A* 是A的伴随。

　　这可以视为一个方块矩阵的转置共轭或伴随矩阵推广，在标准（复）内积下具有相似的性质。1

　　性质

　　可得性质：

　　A** =A

　　如A可逆，则A* 也可逆，且 (A*)= (A)*

　　(A+B)* =A* +B*

　　(λA)* = λ*A*，这里λ* 表示复数λ的复共轭

　　(AB)* =B*A*1

　　如果我们定义A的算子范数为

　　则

　　而且有

　　希尔伯特空间H上有界线性算子与伴随算子以及算子范数给出一个C*代数例子。

　　A的像与它的伴随的核的关系为

　　埃尔米特算子

　　有界算子A:H→H称为埃尔米特或自伴如果A=A*这等价于

　　在某种意义下，这种算子起着实数（等于他们的复共轭）的作用。他们在量子力学中作为实值可观测量的模型。更多细节参见自伴算子一文。

　　无界算子的伴随

　　许多重要的算子不是连续的或只定义在希尔伯特的一个子空间上。在这种情形，我们仍然能定义伴随，在自伴算子一文有解释。2

　　其他伴随

　　范畴论中，方程

　　形式上类似地定义了伴随函子偶性质，这也是伴随函子得名之由来。3

　　参见

　　数学概念

　　线性代数

　　内积

　　希尔伯特空间

　　埃尔米特算子

　　范数

　　算子范数

　　线性映射的转置

　　物理应用

　　对偶空间

　　狄拉克符号

　　量子力学

　　可观测量

　　本词条内容贡献者为:

　　王海侠 - 副教授 - 南京理工大学