有界点集

　　在数学中，一个集合具有某种意义上的有限的大小，则称这个集合在这种意义下是有界的，否则，称为无界的。

　　定义

　　 实数的一个集合 ，如果有实数 ，使得 中的所有点 ，都有 。 称为S的上界。类似地可定义了下界。如果集具有上限和下限, 则该集合为有界的1。

　　欧氏空间 的一个集合 ，如果有实数 ，使得 中的所有点 ，都有 。则该集合为有界的。

　　度量空间

　　度量空间 的子集 是有界的，如果它包含在有限半径的球中，即存在 和 ，使得对任意的 ，有 。 称为有界度量空间 ，如果M作为其自身的子集是有界的。

　　完全有界意味着有界。对于欧氏空间的子集, 两者是等价的。

　　度量空间是紧的当仅当它是完备的且完全有界的。

　　欧氏空间的子集是紧的当仅当它是有界闭集。

　　序理论中的有界性

　　实数的子集是有界的，如果存在一个上界和一个下限。此定义可扩展到任何偏序集的子集2。须要注意, 这个更一般的有界概念并不对应于 "数的大小" 的概念，而是一种顺序的前后。

　　偏序集 的子集 称为有上界的，如果存在元素 ，使得对任意 ，有 。 称之为 的一个上界。类似地，可以定义有下界的。若子集既有上界同时有下界，则称为有界的。

　　例

　　对欧氏空间 中的 ，定义偏序 当仅当a1≤a2且b1≤b2，此时，欧氏空间的子集有界性等价于在刚才定义偏序集的有界性。类似地，可推广到。

　　本词条内容贡献者为:

　　孙和军 - 副教授 - 南京理工大学