拓扑环

　　拓扑学上，拓扑环是一个定义为两个圆的积的闭合曲面，若采用三维欧几里得空间诱导的相对拓扑，则同胚于一个拓扑环面，只要它不和自己的轴相交（具体定义见正文）。

　　环面

　　在几何上，一个环面是一个甜甜圈形状的旋转曲面，由一个圆绕一个和该圆共面的一个轴回转所生成。球面可以视为环面的特殊情况，也就是旋转轴是该圆的直径时。若转轴和圆不相交，圆面中间有一个洞，就像一个甜甜圈，一个呼啦圈，或者一个充了气的轮胎。另一个情况，也就是轴是圆的一根弦的时候，就产生一个挤扁了的球面，就像一个圆的座垫那样。英文Torus曾是拉丁文的这种形状的座垫。

　　圆环面可以参数式地定义为：

　　其中u,v∈ [0, 2π]，R是管子的中心到画面的中心的距离，r是圆管的半径。

　　直角坐标系中的关于z-轴方位角对称的环面方程是

　　该圆环面的表面积和内部体积如下

　　根据更一般的定义，环面的生成元不必是圆，而可以是椭圆或任何圆锥曲线。1

　　拓扑

　　拓扑学上，一个环面是一个定义为两个圆的积的闭合曲面：S×S。 上述曲面，若采用R诱导的相对拓扑，则同胚于一个拓扑环面，只要它不和自己的轴相交。

　　该环面也可用欧几里得平面的一个商空间来表述，这是通过如下的等价关系来完成的

　　(x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1).

　　或者等价地说，作为单位正方形将对边粘合的商空间，表述为基本多边形。

　　环面的基本群是圆的基本群和自身的直积：

　　直观地讲，这意味着一个先绕着环面的“洞”（譬如，沿着某个纬度方向的圆）然后绕着环面“实体”（譬如，沿着特定经度方向的圆）的闭路径可以变形成为先绕实体后绕空心的路径。所以，严格的经度方向和严格的纬度方向的路径是可交换的。这可以想象成为两个鞋带互相穿过然后解开再系上。

　　环面的第一同调群和基本群同构（因为基本群是交换群）。2

　　参看

　　代数环面

　　圆环

　　椭圆曲线

　　极大环面

　　周期格

　　球面

　　曲面

　　环体

　　环面 (原子物理)

　　Villarceau圆

　　环面曲线

　　本词条内容贡献者为:

　　王海侠 - 副教授 - 南京理工大学