形式解阵

　　形式解阵是由矩阵表达的形式解。任何形式解阵必为一准确解阵。换言之，形式解阵中的一切形式对数和均收敛。这个结果能使人们写出方程的解结构的一般形式，因而也就构成线性方程幂级数解法的理论基础。

　　简介

　　形式解阵是由矩阵表达的形式解。

　　形式解

　　用形式级数法讨论具有第一、第二类奇点的线性系统

　　 可以得出很细致的结果。下列表达式称为形式洛朗级数

　　 （约定：除有限项外，z 的负幂项的系数均为零）。

　　下列表达式称为形式对数和（ ，对充分大的 j+k）

　　 其中 为形式洛朗级数。

　　显然，形式对数和构成一个复代数 Λ ，它由形式洛朗级数，z 的幂以及 logz 的整幂生成。

　　形式洛朗级数以及形式对数和还分别具有形式导数如下

　　注意形式导数对复代数 n 也是封闭的。

　　形式对数阵

　　元素均为形式对数和的矩阵，称为形式对数阵。例如，方程的右端即为一形式对数阵。一个形式地满足方程c1>的形式对数阵，即称为一形式解阵。

　　对于具有第一类奇点的上述方程，一个非常细致的结果是：任何形式解阵必为一准确解阵。换言之，形式解阵中的一切形式对数和均收敛。这个结果能使人们写出方程的解结构的一般形式，因而也就构成线性方程幂级数解法的理论基础。

　　对第二类奇点的系统

　　 （其中矩阵 B 在 z=0 处解析，ρ 为一正整数），却并无相应的结果；传统的做法先得出一个形式解阵（这也是相当困难的），然后研究其渐近性。以下仅写出有关形式解阵的结果。对(2)，考虑奇点 ，则有如下结果：对于系统

　　 其中 r 为非负整数，阵 A(z) 在的邻域内为 z-1的收敛幂级数

　　 若 。

　　有相异本征值，则系统存在下面形状的形式解阵，其中阵 R 为对角阵，阵 P 与 Q 分别有形 （P0 为非奇阵，即 )，

　　 且各 均为对角阵，Q0与A0有相同本征值。1

　　本词条内容贡献者为:

　　胡建平 - 副教授 - 西北工业大学